「USACO 2020 US Open Platinum」Exercise
做法与模数是否是质数无关
问题可能比较复杂，需要多步分析
1.对于一个已知的排列
显然这样的置换会构成若干个环，设每个环长度为$a_i,i\in [1,m]$，显然答案就是$lcm(a_i)$
2.对于已知的$a_i$序列(注意这里说的是有序的)，计算其方案数
考虑已经排列的个数为$i$，加入一个环大小为$j$
为了避免重复，应当固定这个环的初始位置为1号点，其余位置按照原先顺序插入
则方案数可以分为两部分考虑:
2-1.环内排列，固定的环首不可排列，即$(j-1)!$
2-2.剩下的$j-1$一个点位置未知，从未固定的$i+j-1$个点中选择
即$C(i+j-1,j-1)$
所以就是$C(i+j-1,j-1)(j-1)!=\frac{(i+j-1)!} {i!}$
归纳一下，发现更形象的描述就是$\begin{aligned}\frac{n!} {\prod_{i=1}^{m} (\sum_{j=1}^i a_j)}\end{aligned}$
也就是每次除掉转移时的大小，将$n!$分成若干段，这似乎有利于理解下面的dp优化
3.计算$lcm$之积
考虑对于每个质因数计算其出现的幂次，注意这个幂次是对于$\varphi$取模的
原先是求恰好包含$x^k$的方案数，得到的$dp$不好优化，考虑转换为:
求质因数$x$出现在答案里的幂次$\ge k$的方案数$F_k$，答案就是$x^{\sum F_k}$
Solution 1
那么反向求解，令$dp_i$表示当前已经确定了$i$个点，没有出现$x^k$倍数大小的联通块
暴力转移，枚举$i$从所有$x^k\not|j$转移过来即可，单次求解复杂度为$O(n^2)$，不可行
优化1:
考虑分解系数$\frac{(i+j-1)!} {i!}$，累前缀和，对于$j$为$x^k$倍数的情况枚举减掉
这样单次求解复杂度为$O(\frac{n^2} {x^k})$，总复杂度为$O(n^2\ln n)$，且不好处理阶乘逆元
优化2:
不枚举$x^i$的倍数，直接再用一个前缀和数组$s_i$记录下来，让$s_i$从$s_{i-x^k}$转移过来即可
如何将系数$\frac{(i+j-1)!} {i!}$分解？
每次$i+j$增大1，就多乘上一个$i+j$即可
当$s_{i}$从$s_{i-x^k}$转移过来时，需要补上$\begin{aligned}\prod_{j=i-x^k+1}^{i-1}j\end{aligned}$
也就是模拟了上面提到的把$n!$分段的过程
这样就去掉了阶乘逆元的求解
Tips:发现需要预处理$T_{i,j}=\prod_{k=i}^j k$，可以滚动一下会快一点，内存为$O(n)$
不同的$x^i$上限为$O(n)$种，实际大概可能是$O(\pi(n)\log \log n=\frac{n\log \log n} {\log n})$?
因此复杂度为$O(n^2)$
可以看到代码还是很简单的
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define Mod2(x) ((x<0)&&(x+=P2))
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
const int N=7510;
int n,P,P2;
int mk[N];
int s[N],T[N],dp[N];
ll qpow(ll x,ll k=P-2) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&P),P2=P-1;
int ans=1;
rep(i,2,n) if(!mk[i]) {
for(int j=i+i;j<=n;j+=i) mk[j]=1;
for(int x=i;x<=n;x*=i) mk[x]=i;
}
rep(i,1,n) T[i]=1;
int r=1;
rep(i,1,n) r=1ll*r*i%P2;
rep(x,2,n) {
rep(j,1,n-x+1) T[j]=1ll*T[j]*(j+x-2)%P2;
if(mk[x]<=1) continue;
dp[0]=1,s[0]=1;
int sum=1;
rep(i,1,n) {
s[i]=0;
if(i>=x) s[i]=1ll*s[i-x]*T[i-x+1]%P2;
dp[i]=sum-s[i]; Mod2(dp[i]);
s[i]=(1ll*s[i]*i+dp[i])%P2;
sum=(1ll*sum*i+dp[i])%P2;
}
ans=1ll*ans*qpow(mk[x],P2+r-dp[n])%P;
}
printf("%d\n",ans);
}
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Solution 2
为了便于表达，设满足条件为至少出现一个$x$的倍数
实际用min-max容斥确实比较好理解，设对于集合$S$，求其最大值
$\begin{aligned} \max \lbrace S\rbrace =\sum_{T\sube S} (-1)^{|T|+1}\min\lbrace T \rbrace\end{aligned}$
简要证明的话:
把$S$中的元素倒序排成一排分别为$S_i$
对于$S_1$即最大值，显然被计算一次
对于剩下的值$S_i(i>1)$，则它作为最小值产生贡献意味着选的数都在$1-i$内，显然有$2^{i-1}$次为奇数集合大小，$2^{i-1}$为偶数集合大小，两部分抵消
要计算最大值为1的方案数，那么就要计算最小值为1的子集方案数
考虑强制一个子集中每一个环大小均为$x$的倍数，设选出了$i$个这样的环，总大小为$j$的方案数为$dp_{i,j}$
则实际对答案的贡献还要考虑这样的子集出现的次数
考虑选择子集的位置，以及剩下的$n-j$个点任意排布，方案数应该为$C(n,j)\cdot (n-j)!=\frac{n!} {j!}$
如果真的用$dp_{i,j}$，复杂度显然太高，考虑$i$这一维的影响只在于系数$(-1)^{|T|+1}$，可以直接在转移过程中解决
因此可以直接记录大小$i$，从前面转移过来
(可以看到依然需要访问上面提到的$T_{i,j}$，要滚动的话还会更难处理)
这样的$dp$状态有$\frac{n} {x}$种，转移为$(\frac{n} {x})^2$，最后统计复杂度为$O(\frac{n} {x})$
实际上这样的复杂度已经足够了，是$O(\sum \frac{n^2} {i^2}\approx n^2)$
以下是$O(n^2)$内存的代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef long long ll;
const int N=7510;
int n,P,P2,T[N][N],mk[N],dp[N];
ll qpow(ll x,ll k) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
int Calc(int x){
int m=n/x,s=P2-1;
rep(i,1,m) {
s=1ll*s*T[(i-1)*x+1][i*x-1]%P2;
dp[i]=P2-s;
s=(1ll*s*i*x+dp[i])%P2;
}
int ans=0;
rep(i,1,m) ans=(ans+1ll*dp[i]*T[i*x+1][n])%P2;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&P),P2=P-1;
rep(i,2,n) if(!mk[i]) {
for(int j=i;j<=n;j+=i) mk[j]=1;
for(int j=i;j<=n;j*=i) mk[j]=i;
}
rep(i,1,n+1){
T[i][i-1]=1;
rep(j,i,n) T[i][j]=1ll*T[i][j-1]*j%P2;
}
int ans=1;
rep(i,2,n) if(mk[i]>1) ans=ans*qpow(mk[i],Calc(i))%P;
printf("%d\n",ans);
}
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最终优化
可以看到，这个做法和Sol1的转移有十分的相同之处，因此考虑用同样的方法优化掉
但是预处理系数的部分依然是$O(n^2)$的，如何解决呢?
1.线段树大法
预处理复杂度为$O(n)$，查询复杂度为$O(\log n)$，总复杂度$O(n\log^2 n)$
空间复杂度为$O(n)$
Oh这个代码是ZKW线段树
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;
const int N=7510;
int n,P,P2;
struct Tree {
int s[N<<2],bit;
void Build() {
for(bit=1;bit<=n;bit<<=1);
rep(i,1,n) s[i+bit]=i;
for(int i=bit;i>=1;--i) s[i]=1ll*s[i<<1]*s[i<<1|1]%P2;
}
int Que(int l,int r){
if(l>r) return 1;
if(l==r) return l;
int res=1;
for(l+=bit-1,r+=bit+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
if(~l&1) res=1ll*res*s[l^1]%P2;
if(r&1) res=1ll*res*s[r^1]%P2;
}
return res;
}
} T;
int mk[N];
ll qpow(ll x,ll k) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
int dp[N];
int Calc(int x){
int m=n/x,s=P2-1;
rep(i,1,m) {
s=1ll*s*T.Que((i-1)*x+1,i*x-1)%P2;
dp[i]=P2-s;
s=(1ll*s*i*x+dp[i])%P2;
}
int ans=0;
rep(i,1,m) ans=(ans+1ll*dp[i]*T.Que(i*x+1,n))%P2;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&P),P2=P-1;
T.Build();
rep(i,2,n) if(!mk[i]) {
for(int j=i;j<=n;j+=i) mk[j]=1;
for(int j=i;j<=n;j*=i) mk[j]=i;
}
int ans=1;
rep(i,2,n) if(mk[i]>1) ans=ans*qpow(mk[i],Calc(i))%P;
printf("%d\n",ans);
}
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2.模数分解+CRT(Chinese Remainder Theory)
分解后，可以用模逆元处理，然后就直接做，最后CRT合并一下，其实我并不会实现。。。
3.猫树(嘿嘿)
这是一个$O(n\log n)$预处理，$O(1)$查询的数据结构，空间复杂度为$O(n\log n)$
因此复杂度为$O(n\log n)$
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef long long ll;
const int N=7510;
int n,P,P2;
struct SuckCat{
int s[14][8200],Log[8200],bit;
void Build() {
for(bit=1;bit<=n;bit<<=1);
rep(i,2,bit) Log[i]=Log[i>>1]+1;
for(int l=1,d=0;l*2<=bit;l<<=1,d++){
for(int i=l;i<=bit;i+=l*2){
s[d][i-1]=i-1,s[d][i]=i;
drep(j,i-2,i-l) s[d][j]=1ll*s[d][j+1]*j%P2;
rep(j,i+1,i+l-1) s[d][j]=1ll*s[d][j-1]*j%P2;
}
}
}
int Que(int l,int r){
if(l>r) return 1;
if(l==r) return l;
int d=Log[l^r];
return 1ll*s[d][l]*s[d][r]%P2;
}
} T;
int mk[N];
ll qpow(ll x,ll k) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
int dp[N];
int Calc(int x){
int m=n/x,s=P2-1;
rep(i,1,m) {
s=1ll*s*T.Que((i-1)*x+1,i*x-1)%P2;
dp[i]=P2-s;
s=(1ll*s*i*x+dp[i])%P2;
}
int ans=0;
rep(i,1,m) ans=(ans+1ll*dp[i]*T.Que(i*x+1,n))%P2;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&P),P2=P-1;
T.Build();
rep(i,2,n) if(!mk[i]) {
for(int j=i;j<=n;j+=i) mk[j]=1;
for(int j=i;j<=n;j*=i) mk[j]=i;
}
int ans=1;
rep(i,2,n) if(mk[i]>1) ans=ans*qpow(mk[i],Calc(i))%P;
printf("%d\n",ans);
}
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