FWT (快速沃尔什变换)详解以及 K进制FWT

约定：$F’=FWT(F)$

卷积的问题，事实上就是要构造$F’G’=(FG)’$

我们常见的卷积，是二进制位上的or ,and ,xor

但正式来说，是集合幂指数 上的 并，交，对称差

为了说人话，这里就不带入集合幂指数的概念了

一个常识：$\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}=[S=\empty]$

or 和 and 卷积

ps: 虽然这两个并不是$\text{FWT}$，应该叫$\text{FMT}$(快速莫比乌斯变换)，但是由于常用的是这3个，所以放到一起

这两种卷积的本质是相同的，所以只解释$or$卷积

or卷积的本质就是高位前缀和

即:$F’_S=\sum _{T\sube S}F_T$

正确性：

即$\forall S,F’_S \cdot G’_S=(F\cup G)’_S$

左边=

$F’_S \cdot G’_S=\sum _{T\sube S}\sum _{R\sube S}F_T\cdot G_R$

右边=

$(F\cup G)’_S=\sum_{T\sube S}(F \cup G)_S$

$=\sum_{T\sube S}\sum_{A,B,A\cup B=S}F_A\cdot G_B$

$=\sum_{T \sube S}\sum_{R \sube S}F_T \cdot G_R$

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卷积实现

其实第一次层循环的意思是枚举子集中和自己不同的位最高是$i$

让$0$向$1$转移即可

void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) 
        rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<1)
        for(int l=0;l<n;l+=i*2)
            for(int j=0;j<l+i;++j) 
                s[j+i]+=s[j];
}

Tips:如果要卡常，可以写成类似$\text{FFT}$的形式，因为优化了访问顺序会快一些

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实现逆卷积

把上面的加换成减，这是一个类似容斥的东西

但是因为是反解，所以这个过程我么通常称为子集反演

那么每次$0$向$1$的转移意味着多了一个不同的位置

设$F’_S=\sum_{T\sube S}F_T$

实际逆卷积就是$F_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T\oplus S|} F’_S$

证明如下：

$\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T\oplus S|} \sum _{R\in T}F_R$

$\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}F_R\sum _{T\sube R,R\sube S}(-1)^{|S\oplus R|}$

$\Leftrightarrow F_S=\sum_{T\sube S}F_R\sum _{R\sube (S\oplus T)}(-1)^{|R|}$

带入上面所提到的$\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}=[S=\empty]$，成立

void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) 
        rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=f*s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<1)
        for(int l=0;l<n;l+=i*2)
            for(int j=0;j<l+i;++j) 
                s[j+i]+=f*s[j];
}

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应用 : 子集卷积(可以看luogu)

问题描述：给定$F_S,G_T$，求出$H_{R}=\sum_{S\cup T=R,S\cap T=\empty}F_S\cdot G_T$，设有$2^n$个元素

我们知道直接枚举的复杂度为$O(3^n)$

直接应用or卷积无法保证$S\cap T=\empty$，但是可以再记录一个占位数量，即把$F,G$按照每一位包含1的数量分开成$n+1$部分，卷积完成之后

应该满足1的个数恰好为两者之和，否则清空

需要$n$次卷积，$n^2$次转移，因此复杂度为$O(n^22^n)$，在渐进意义上更优于$O(3^n)$

Xor 卷积

这里要用到一个小性质

思路介绍：

我们是要构造一个$F_S\rightarrow G_T$的变换，使得该变换满足Xor的性质，且能在较优的时间复杂度内完成，并且能够在较优的时间内完成反演

由于上面的这条式子，考虑可以构造$F’_S=\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}F_T$，这样$(-1)^k$的系数在$\mod 2$意义下可以抵消

正确性

即$\forall S,F’_S \cdot G’_S=(F\bigoplus G)’_S$

$F’_S\cdot G’_S=\sum_{T} \sum_{R}(-1)^{|S\cap T|+|S\cap R|}F_T\cdot G_R$

$=\sum _T\sum _R(-1)^{|(T\bigoplus R)\cap S|}F_T\cdot G_R$

显然这个式子与右边相同

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卷积实现

考虑和前面相同的方法，枚举二进制位上最高的$1$

之前由于转移是单向的，所以只需要一次加法，这里由于有了系数同时还是双向的转移，所以要格外注意

转移系数也是比较明显的

$0\rightarrow 0 = 1$

$0\rightarrow 1 = 1$

$1\rightarrow 0 = 1$

$1\rightarrow 1 = -1$

void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) {
        rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
            ll t=a[j+i];
            a[j+i]=a[j]-t;
            a[j]=a[j]+t;
        }
    }   
}
void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                ll t=a[j+i];
                a[j+i]=a[j]-t;
                a[j]+=t;
            }
        }
    }
}

实现逆卷积

考虑再卷一次

$F’’_S=\sum_T\sum_R(-1)^{|S\cap R|+|T\cap R|}F_T$

$=\sum_T \sum_R (-1)^{|(S\bigoplus T)\cap R|}F_T$

$\because \sum_T (-1)^{|S\cap T|}=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|}2^{|U|-|S|}=[S=\empty]2^{|U|-|S|}$(其中$U$是全集)

$\therefore F’’_S=\sum_S2^{|U|}F_S$

所以逆卷积就是再卷一遍，最后除去$n$即可

void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) {
        rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
            ll t=a[j+i];
            a[j+i]=a[j]-t;
            a[j]=a[j]+t;
        }
    }   
    if(f==-1) rep(i,0,n-1) a[i]/=n;
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                ll t=a[j+i];
                a[j+i]=a[j]-t;
                a[j]+=t;
            }
        }
    }
    if(f==-1) for(int i=0;i<n;++i) a[i]/=n;
}

和上面一样的，可以写成类似$\text{FFT}$的形式卡常

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拓展 K - FWT

实际上学习了这个拓展能让你更好地理解$\text{FWT}$

不妨考虑$n$个维度的情况，每个维度是一个$0,1,\cdots k-1$中的数

由于$k$进制下不好用集合描述，因此考虑用一个向量$\vec{V}=\lbrace V_0,V_1,\cdots,V_{n-1}\rbrace,V_i\in[0,k-1]$表示

一个多项式可以具象地用$0,1,\cdots,k^n-1$这个$k^n$个位置上的系数表示

$\text{and,or}$卷积在$k$进制下可以拓展为按位取$\min,\max$，这个直接累前缀和就可以了，不作赘述

而$k$进制下的$\text{xor}$可以扩展为两个向量列的取模加法

$\vec{A}+\vec{B}=\vec{C},C_i=(A_i+B_i)\bmod k$

也可以描述为不进位的$k$进制数加法

其实用$\text{K-FWT}$称呼这个似乎不是很形象，更好的可以称之为$\text{n-DFT}$

也就是说$\text{K-FWT}$实际上就是在$n$个维度上分别做大小为$k$的循环卷积，使用一种结合$\text{FWT-DFT}$的方法(因此需要用到$k$次单位根$\omega_k$)

卷积构造

原多项式$F$向卷积多项式$F’$的转换系数为$[x^A]F\rightarrow [x^B]F’:\omega_k^{A\cdot B}$

其中$A\cdot B$为向量内积，即$\sum A_i\cdot B_i$

从中也可以很好地看到$\text{xor}$卷积的影子

实现方法上，可以依次枚举$0,1,\cdots,n-1$每一位，将除了这一位上都相同的数取出来

按照这一位上的值做一次$\text{DFT}$

需要$n$位枚举，每次枚举需要做$k^{n-1}$次$k^2$的$\text{DFT}$，因而复杂度为$O(nk^{n+1})$

对于$k$比较大的情况，如果$k=2^t$可以直接用$\text{FFT/NTT}$，否则还可以参考这个

可以优化到$O(nk^n\log k)$

逆卷积

当然是换成$\text{IDFT}$，最后全部除掉$k^n$

正确性上，如果你对于$\text{IDFT}$的原理(单位根反演) 有所了解，就能发现

只有所有位置上都相同的情况才会转移出$k^n$的系数

$\$

int w[20]; // 单位根的幂次
void K_FWT(int *F,int n,int f){ // 这个n实际上是上面叙述中的n^k
    static int t[20];
    for(int i=1;i<n;i*=k){
        for(int l=0;l<n;l+=i*k){
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                for(int a=0;a<k;++a) 
                    for(int b=t[a]=0;b<k;++b) 
                        t[a]=(t[a]+1ll*F[j+b*i]%P*w[b*(k+f*a)%k])%P;
                for(reg int a=0;a<k;++a) F[j+a*i]=t[a];
            }
        }
    }
	if(f==-1) {
        ll base=qpow(n);
        rep(i,0,n-1) F[i]=F[i]*base%P;
    }
}

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