数论知识小结 [微提高篇]

(lastest updated on 2020.08.12)

二次剩余和高次剩余

$y^c\equiv x\pmod P$则$y$为$x$模$P$的$c$次剩余

关于二次剩余

$\text{Miller_Rabin}$素数检测

$x$是质数的必要条件是

$\forall a,a^{x-1}\equiv 1\pmod x$

同于对于一个质数$x$，必然有

$a^2\equiv 1\pmod x$的解只有$1,x-1$

证明是

$\because a^2\equiv 1 \pmod x$

$\therefore (a-1)(a+1)\equiv 0 \pmod x$

因为$x$是质数，所以$a-1\mod x=0$ 或 $a+1\mod x=0$，即$a\in\{1,x-1\}$

$\text{Miller_Rabin}$算法的步骤

将$x-1$分解为$x-1=2^s\cdot t$

找一个$<x$的质数$a$，求出$b\equiv a^t \pmod x$

将$b$进行$s$次平方，设这一次平方的结果$b^2\equiv c \pmod x$

当出现$c=1$时，$b$只能为$1$,$x-1$否则$x$就不是质数

$s$次平方后，$b\equiv a^{x-1}\pmod x$，若$b\ne 1$，则$x$不是质数

不知道为什么，模板题跑5次就能过了。。。

注意$x\leq 2\or 2|x$要特判

注意取模需要快速乘

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int Miller_Rabin(ll x){
	if(x==2) return 1;
	if(x<=1 || ~x&1) return 0;
	ll s=0,t=x-1;
	while(~t&1) s++,t>>=1;
	rep(i,1,20) {
		ll a=prime[rand()%primecnt+1],b=qpow(a,t,x),c;
		rep(j,1,s) {
			c=qmul(b,b,x);
			if(c==1 && b!=1 && b!=x-1) return 0;
			b=c;
		}
		if(b!=1) return 0;
	}
	return 1;
}


可以结合$\text{Miller_Rabin}$的$n^{\frac{1} {3} }$特殊情况质因数分解

实际上，这种方法常用于求$n$的因子个数

方法非常简单，先对于所有$pri_i\le n^{\frac{1} {3} }$的因子对于$n$筛去，剩下的部分中，所有质因子$>n^{\frac{1} {3} }$

因此最多包含两个质因数(可能相同)

用$\text{Miller_Rabin}$判断是否只包含一个质数，然后简单判别两个质因数是否相同即可

复杂度为$O(\log n+\pi (n^{\frac{1} {3} }))$

小范围内比下面的$\text{Pollard’s_Rho}$更快，更简单

$\text{Pollard’s_Rho}$质因数分解

核心就是名字里的Rho($\rho$)，是伪循环的一个形象的表示

伪循环：从某一个时刻开始，进入一个真循环，之前的时间就是$\rho$的脚

构造伪随机函数$G_n(x)=(x^2+c)\mod n$

构造数列$a_i=G_n(a_{i-1})$

由于函数的值域只有$[0,n-1]$，必然出现伪循环，即在从个位置开始，进入一个未知长度的循环，也就是长成了一个$\rho$的形状

由于这个函数是伪随机函数，所以这个循环大小在期望情况下是$O(\sqrt n)$的

$\text{Pollard’s_Rho}$算法要找到一个$p\in[2,n-2],p|n$

考虑用$\text{Floyd}$算法找环，即定义两个变量，一个每次走一步，一个每次走两步，设他们为$x,y$

当$x=y$时，显然出现循环

由于$p|n$，所以当$x \equiv y \pmod p$时，实际上是$G_p(x)$这个函数出现了循环

所以在找$G_n(x)$的循环时，可以通过求出$\gcd(x-y,n)$判断是否出现$G_p(x)$的循环

注意如果出现$x=y$情况已经找到$n$的循环，说明这个我们这次构造的这个函数找不到$p$的循环

由于$\forall n\notin prime,\exist p\in[1,\sqrt n],p|n$

所以期望情况下每$\sqrt p\leq \sqrt {\sqrt n}=n^{\frac{1} {4} }$的长度会出现循环

算法复杂度是期望$O(n^{\frac{1} {4} }\log n)$的

那么写出$\text{Pollard’s_Rho}$算法的代码

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ll Pollards_Rho(ll n){
	ll c=rand(); // 随机生成一个函数
    ll x=rand(),y=x,d=1; // 随机一个初始值
    while(d==1){
		x=(qmul(x,x)+c)%n;
		y=(qmul(y,y)+c)%n;
		y=(qmul(y,y)+c)%n;
		d=gcd(n,abs(x-y));
	}
    if(d==n) return Pollards_Rho(n); // 构造失败
    else return d; // 找到了p
}

不断调用即可完成对于n的质因数分解

对于质因数分解，更高级的算法可以参考LOJ-6466

莫比乌斯函数

设$n=\prod_1^m p_i^{c_i}$，其中$c_i>0,p_i$为质数

则莫比乌斯函数 $\mu(n)=\left\{\begin{aligned}1 && n=1\\ (-1)^m && \nexists c_i>1 \\ 0 && \exists c_i>1\end{aligned}\right.$

狄利克雷卷积

对于数列$F,G$，他们的狄利克雷卷积(下简称$F\oplus G$)为

$$\begin{aligned} (F\oplus G)_i=\sum_{d|i}F_d\cdot G_{\frac{i} {d} }\end{aligned}$$

莫比乌斯反演

设元函数$E_i=1$

$G=F\oplus E$，即$G_i=\sum_{d|i}F_d$

由$G$反解$F$得到莫比乌斯反演$F_i=\sum_{d|i}\mu(d) G_{\frac{i} {d} }$

积性函数

积性函数的定义，对于一个定义在$\Z$上的函数$F(n)$，若满足

$F(1)=1,\forall (u,v)=1,F(u)\cdot F(v)=F(u\cdot v)$，则$F(u)$是一个积性函数

完全积性函数对于任意的$u,v$对满足上述性质

常见的积性函数有

1.元函数$e(n)=[n=1]$

2.因数个数函数$d(n)$

3.欧拉函数$\varphi(n)$

4.莫比乌斯系数$\mu(n)$

5.约数和函数$\sigma(n)$

推论：任意两个积性函数的狄利克雷函数卷积 仍然是积性函数

线性筛筛法求解积性函数

把积性函数$F(n)$表示为

$F(n)=\left\{\begin{aligned} 1 && n=1 \\ G(n) && n=p_i^t \\ \prod G(p_i^{c_i}) && n=\prod p_i^{c_i}\end{aligned}\right.$

如果能在较短的时间内求得$G(p_i^t)$，则可以用线性筛法求解积性函数$F(n)$的前$n$项

一个最简单的应用: 在$O(n)$时间求解$id^z(n)=n^z$

显然，$id^z(n)$是一个完全积性函数，且直接求复杂度为$O(n\log z)$

因为是完全积性函数，所以只需要求解$id^z(p_i)$，这一部分复杂度为$O(\pi(n)\cdot \log z)=O(n)$

线性筛法的复杂度为$O(n)$，因此总复杂度也为$O(n)$

(这就是传说中的魔法吗！！)

一个简单的应用：求解$\mu(n)$

鉴于$\mu(n)$的特殊性，也只需要求出$\mu(p_i)$

写出的代码大致是这样的

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int pri[N],notpri[N],pc,mu[N];
void Sieve_Mobius(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!notpri[i]) pri[++pc]=i,mu[i]=1;
        for(int j=1;j<=pc && 1ll*i*pri[j]<=n;++j) {
            notpri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
真-应用: 大型模板
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int CalcG(int n);

int prime[N],primecnt,notprime[N];
int F[N],D[N];
// F存储函数值
// D存储质因数出现的幂次积

void Sieve_Multiplicative_Function(int n){
    F[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!notprime[i]) {
            prime[++primecnt]=i;
            for(ll j=i;j<=n;j*=i) F[j]=CalcG(j),D[j]=j;
            // 计算F(p_i^t)
        }
        for(int j=1;j<=primecnt && 1ll*i*prime[j]<=n;++j) {
            notprime[i*prime[j]]=1;
            int k=i*prime[j];
            if(i%prime[j]==0) {
                D[k]=D[i] * prime[j];
                F[k]=F[i/D[i]] * F[D[k]];
                break;
            }
            D[k]=prime[j];
            F[k]=F[i] * F[prime[j]];
        }
    }
}

杜教筛

用于求解 较大范围 且 可以构造出一些性质的积性函数 前缀和

不推荐看我的，但是还是放一下链接

Min25筛

用于求 较大范围 且 使用范围更广 的积性函数前缀和 ， 但在效率上不敌杜教筛

还是放一下链接