矩阵行列式

对于一个$n$行$n$列的矩阵$A$，有矩阵的行列式(常用$\det(A),|A|$)表示

如果将矩阵的每一行视为一个$n$维向量，则$n$阶行列式的意义可以看做是:

有向长度/面积/体积在$n$为空间下的扩展

具体的例子

$n=1$时，$|A|=A_{1,1}$，即有向长度

$n=2$时，$|A|=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}=\vec{A_1}\times \vec{A_2}$

因此也可以得到常用的一个3维向量外积的表达式

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{x}\ \ \vec{y}\ \ \vec{z} \\ a_1\ a_2\ a_3\\ b_1\ b_2\ b_3\end{vmatrix}$

其中$\vec{x},\vec{y},\vec{z}$是三维平面的三个维度的单位向量

上式即将有向体积中的一个向量改为单位向量后压缩到一个平面上

$\$

枚举$1,2,\cdots,n$的一个排列$p_i$，设排列$p$的逆序对为$f(p)$

则$\begin{aligned} |A|=\sum (-1)^{f(p)} \Pi A_{i,p_i}\end{aligned}$

$\$

1.交换任意两行(列)得到矩阵$A’$，则$|A’|=-|A|$ (交换后每个排列$f(p)$的奇偶性改变)

2.对于某一行(列)乘上一个值$k$得到矩阵$A’$，则$|A’|=k|A|$

3.某一行减去另一行的$k$倍得到矩阵$A’$，则$|A’|=|A|$

根据性质1,2,3可以对于矩阵进行高斯消元

而对于一个上三角/下三角矩阵，带入上面的基本求法，显然能够得到非0值的排列只有对角线$p_i=i$

因此得到上/下三角矩阵之后就可以快速求解,复杂度为高斯消元的$O(n^3)$

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