求导/泰勒展开

前言:求导是为泰勒展开铺路的。。

求导

$f’(x)$为$f(x)$的导数，即$f(x)$在$x$上的变化率

$\begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)} {\Delta x}\end{aligned}$

$f(x)$在$x$上可导的前提是$f(x)$在$x$上是连续的

一种不完善的判定条件是$\begin{aligned} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^+} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)} {\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(x-\Delta x)} {\Delta x}\end{aligned}$

求导法则

$1.(x^n)’=n \cdot x^{n-1}$$(n\in \R$,但是要注意定义域)

$2.(\sin x)’=\cos x,(\cos x)’=-\sin x$

$3.(e^x)’=e^x$

$4.(a^x)’=\ln a\cdot a^x$

$5.(\ln x)’=\frac{1} {x}$

$6.\log_a x=\frac{1} {x\ln a}$

$7.(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)$

$8.\displaystyle (\frac{f(x)} {g(x)})’=\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)} {g^2(x)}$

$9.(f(g(x)))’=f’(g(x))\cdot g’(x)$

如$f(x)=\ln x,g(x)=ax-1$

$f’(x)=\frac{1} {x},f’(g(x))=\frac{1} {ax-1}$

$g’(x)=a$

$(\ln (ax-1))’=\frac{a} {ax-1}$

泰勒 Taylor 展开

$\text{Taylor}$展开是用函数$f(x)$在某个点$x_0$上不断求导之后的函数值表示出函数本身

从而将任何一个函数表示成(可能不是有穷的)多项式函数形式

$\begin{aligned} f(x)=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)} {i!}(x-x_0)^i\end{aligned}$

其中$f^{(i)}$表示$f$的$i$阶导数

当$x_0=0$时，这个展开被称为麦克劳林 $\text{Maclaurin}$展开，即

$\begin{aligned} f(x)=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)} {i!}x^i\end{aligned}$

Taylor 展开的证明

为了便于描述，下面直接对于$\text{Maclaurin}$ 展开叙述 ， $\text{Taylor}$展开相当于平移了$x_0$

不妨设$f(x)$展开后的多项式函数系数为$a_i$，即设$\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\end{aligned}$

不断对于$f(x)$求导得到下式

$\begin{aligned} f^{(0)}(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\cdots \end{aligned}$ $\begin{aligned} f^{(1)}(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\cdots \end{aligned}$ $\begin{aligned} f^{(2)}(x)= 2a_2+6a_3x^1+12a_4x^2+20a_5x^3\cdots \end{aligned}$

$\cdots$

$\begin{aligned} f^{(n)}(x)= n!a_n+\prod_{i=2}^{n+1}i\cdot a_{n+1}x^1+\prod_{i=3}^{n+2}i\cdot a_{n+2}x^2\cdots \end{aligned}$

带入这些函数在0上的取值，得到

$f^{(i)}(0)=i!\cdot a_i$

因此$\begin{aligned} f(x)=a_ix^i=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)} {i!}x^i\end{aligned}$

常见的Taylor展开

如果你是数学生

$\displaystyle e^x= 1+x+\frac{x^2} {2}+\ldots+ \frac{x^n} {n!}+\theta\frac{x^{n+1} } {(n+1)!},\theta\in (0,1)$

所以实际上是

$\left\{\begin{aligned}e^x\ge 1+x+\frac{x^2} {2}+\ldots+\frac{x^n} {n!}&& 2\not |n\text{ or }\ge 0\\ e^x\leq 1+x+\frac{x^2} {2}+\ldots+\frac{x^n} {n!}&& \text{otherwise}\end{aligned}\right.$

$\ln x\leq x-1$

诸如此类，常用于$e^x,\ln x$的放缩处理

如果你是OIer/ACMer

带入$f(x)=e^x,x_0=0$，得到

$\begin{aligned} f(x)=e^x=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{x^i} {i!}\end{aligned}$

类似的

$\displaystyle [x^n]e^{ax}=\frac{a^n} {n!}$

还有很多都可以自己代入一下，比如

$\begin{aligned} \frac{1} {1-x}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i\end{aligned}$ $\begin{aligned} -\ln (1-x)=\ln \frac{1} {1-x}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i} {i}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\sin x =\sum_{i=1}(-1)^{i+1}\frac{x^{2i+1} } {(2i+1)!}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\cos x=\sum_{i=0}(-1)^{i}\frac{x^{2i} } {(2i)!}\end{aligned}$

应用:牛顿迭代法