[水]整数拆分积

这是一个常规（小学奥数）结论

问题：对于$n(n\ge 3)$，要求构造拆分$n=\sum_{i=1}^m a_i$，最大化$\prod a_i$

最优情况下，满足

1.$n\mod 3=0$，$a_i=3$

2.$n\mod 3=2$，$i<m,a_i=3 ; a_m=2$

3.$n\mod 3=1$，$i<m,a_i=3 ; a_m=4$或$i<m-1,a_i=3 ;a_{m-1}=a_m=2$

容易发现$a_i=2,a_i=4$的都是边界情况，我们只需要分析为何$a_i=3$能够最大化答案

考虑由高维均值不等式 $\displaystyle \sqrt[m]{\prod a_i}\leq \frac{\sum a_i} {m}$

$\displaystyle \prod a_i\leq (\frac{\sum a_i} {m})^m$

故知在$a_i$尽量平均时取到最值

现在只需分析$a_i=x$在何时取到最值

不妨用一个函数$g(x)=x^{\frac{n} {x} }$来描述问题

由于上标中的$n$不影响单调性，不妨分析$\displaystyle f(x)=g^{\frac{1} {n} }(x)=x^{\frac{1} {x} }$

$f(x)=e^{\frac{\ln x} {x} }$

$f’(x)=e^{\frac{\ln x} {x} }\cdot \frac{1-\ln x} {x^2}$

容易发现$f(x)$在$x_0=e$处取极大值

由于$x’\in \Z$，带入$f(2)\approx 1.414,f(3)\approx 1.442$

故取$a_i=3$